Конфигурация Свободная приводит фрактал к виду простого треугольника Серпинского
Вы можете в любой момент самостоятельно установить форму фрактала (смотрите ниже)
Свойства симметрии (группы Zn) фрактальных изображений
Вы можете выбрать группу симметрии Zn от 3 до 9
Величина по умолчанию Дурак означает, что параметр Zn выбран автоматически в диапазоне от 3 до 9
Колесо Фортуны позволяет установить случайный параметр Zn высокого уровня от 30 до 60
Вы можете самостоятельно установить симметрию Zn фрактала в любой момент (смотрите ниже)
Конфигурации вручную: → Проекция, Z-поле, Афинные параметры, Итерируемая функция
Кнопка Проекция позволяет выбрать, будут ли линейные проекции - линейное преобразование с детерминантой равной нулю - также установлены по умолчанию или нет. По умолчанию эта опция включена
Опция Z-поле позволяет добавить линейное преобразование с неподвижной точкой в нуле в любой набор преобразований
Кнопки Афинные параметры и Итерируемая функция открывают окно, в котором вы можете самостоятельно установить параметры набора функций
Каждая матрица линейных преобразований состоит из следующих параметров: масштаб, вращение, растяжение и сдвиг
Параметр Масштаб это однотипный скаляр, который будет помножен на идентичную матрицу
Параметр Растяжение позволяет указать степень неоднотипного масштаба в направлении x и y: его величина преобразовывается в функции k=(1+s)/(1-s) и затем в унитарной диагональной матрице, в которой k и 1/k являются характеристическими числами
Параметр Угол вращения определяет матрицу вращения слева от матрицы масштаба
Параметр Угол сдвига определяет матрицу вращения справа от матрицы масштаба
На шкале симметрия вы можете вручную выбрать Zn симметрию
На шкале nb-ifs вы можете вручную установить общее число различных функций для каждого типа симметрии - по умолчанию это 3
Настройки построения кривых: → Цвета, Оси, Экспорт
Цвета во фрактальных изображениях пропорциональны вероятности того, что заданная точка будет посещаться во время итераций
При нажатии на кнопку Цвета открывается окно, в котором вы можете выбрать цветовую палитру фрактального изображения
Вы можете выбрать одну из трёх стандартных цветовых палитр внизу окна либо создать свою собственную цветовую палитру
Вы создаёте цветовую палитру, выбирая оттенок, насыщенность и яркость двух крайних цветов палитры
Программа установит средние цвета пропорционально градиенту между двумя крайними цветами, которые вы выбрали
При активации опции Оси программа также построит координатные оси пространства и неподвижные точки каждой функции в наборе итерируемых функций
Фрактальные изображения строятся на холсте: такой холст не позволяет копировать и экспортировать изображение
При нажатии на кнопку Экспорт вы конвертируете изображение в формат png: затем вы сможете нажать правой кнопкой мыши на изображение и сохранить его на компьютере
Учтите, что изображение экспортируется без фона: вам будет необходимо добавить фон в любом другом приложении, в котором вы будете использовать загруженное изображение
Рисование: → Новое, Перерисовать, Перекрасить
Кнопка Новое генерирует новое фрактальное изображение с теми же настройками, что и текущее: текущее изображение стирается
Кнопка Перерисовать заново рисует изображение
Кнопка Перекрасить позволяет изменить цветовые настройки данного фрактального изображения
Добавить итерации: → +10k, +100k, +1M, +10M
Изначальное фрактальное изображение выстраивается после 10 000 итераций набора функций: таким образом, пользователи с низкой вычислительной способностью (напр., смартфоны) не будут заблокированы из-за долгого ожидания
Изначальное фрактальное изображение обычно низкого качества, но позволяет вам определить красивые изображения
Затем вы можете добавить итерации, чтобы получить изображение высокого качества
Учтите, что фрактал определяется бесконечным множеством итераций, что является невозможным на компьютере
Обычно вы получаете наилучшее изображение после 1М итераций, но иногда изображение значительно улучшается при 100М итерациях
Будьте готовы подождать, если вы запустите более 100k итераций на недостаточно мощном компьютере
Данные IFS (Математики)
Для математиков мы предоставляем в данные IFS самые важные параметры набора итерируемых функций
Первая матрица показывает (i) число раз, когда точка была достигнута итерацией, разделённое в процентилях и включающее в себя минимум и максимум таких раз, (ii) общее число раз (пиксели) и итераций, (iii) подсчёт математического сферического измерения фрактала и (iv) максимального радиуса фрактала
В левой G-матрице вы найдёте масштаб, растяжение, вращение, сдвиг, радиус и фазу неподвижных точек, если зеркало было включено - если mr=0, вы получите проекцию, если mr=-1, вы получите отражение - детерминанту и след преобразований
В правой G-матрице для того же самого преобразования вы найдёте стандартные параметры линейной матрицы (G), параметр перевода t и применённую вероятность появления преобразования в каждой итерации
Краткий математический экскурс в генерацию фракталов
IFS это набор афинных преобразований
Каждое из этих афинных преобразований - это сжатие. Абсолютные величины масштаба по осям x и y меньше единицы. Набор афинных сжатий называется гиперболической IFS
Доказано, что любая гиперболическая IFS имеет единственный набор неподвижных точек, который называется аттрактор A гиперболической IFS
Начиная с любого сложного числа z (или точки на плоскости) и применяя итерационно преобразование, выбранное случайным образом в HIFS, после переходного периода (напр., 500 итераций) приложение неизбежно достигнет аттрактора
Продолжая применять итерационно преобразование, выбранное случайным образом в HIFS, программа покажет аттрактор HIFS, разукрасив пиксели пропорционально числу попаданий
