Fraktale zeichnen mit hyperbolischen iterierten Funktionensysteme (IFS) mit Zn/Dn Symmetrie
Vordefinierte Fraktale Konfigurationen
Frei
Überraschung
Göttlich
Sterne
Wirbel
Entropie
Fraktal zeichnen
Symmetrieeigenschaften von Fraktalen Icons
Dummkopf
Trinity
Kreuz
Morgen
Liebhaber
Teufel
Gerecht
Hermite
Glücksrad
Manuelle Einstellungen (Mathematiker)
Projections on
Z-pole off
Affine Parameters
Iterated Function Set
Plotter-Einstellungen
Colors
Axis off
Export off
Andere Aktionen
IFS data
Zurück
Zeichnen
New
Redraw
Repaint
Iterationen hinzufügen
+10K
+100K
+1M
+10M
Close
Occurrences and Fractal Dimensions
G-Matrix: coefficients of the hyperbolic IFS
Zurück
Erzeugung von Fraktal Icons - hyperbolische iterierten Funktionensystem
Übersicht dieser Fraktal-Generator
Dieses kostenlose Online-Software ermöglicht Fraktal-Ikonen mit verschiedenen Formen, Farben und Symmetrien zu erzeugen
Um ein Fraktal zu erzeugen, drücken Sie einfach die rote Taste Fraktal zeichnen
Vordefinierte Fraktalen Konfigurationen
Sie können einige vordefinierten Konfigurationen von Fraktalen wählen - Frei, Überraschung, Göttlich, Sterne, Wirbel, Entropie -
Der Überraschung Konfiguration ist standardmäßig eingestellt
Die Konfiguration Frei setzt die fraktale auf eine einfache Sierpinski-Dreieck
Sie können manuell die Form der fraktalen jederzeit wiedereinstellen (siehe unten)
Symmetrieeigenschaften (Zn Gruppen) von Fraktalen Ikonen
Sie können die Zn Symmetriegruppe zwischen 3 und 9 wählen
Die Standardeinstellung Dummkopf bedeutet, daß der Zn wird zufällig zwischen 3 und 9 ausgewählten
Das Glücksrad ermöglicht eine zufällige Zn von hohem Rang zwischen 30 und 60 einzustellen
Sie können die Zn Symmetrie der fraktalen jederzeit manuell einstellen (siehe unten)
Manuelle Einstellungen: → Projektion, Z-Pole, Affine Parameters, Iterated Function Set
Der Button Projection erlaubt es, ob lineare Projektionen - lineare Transformationen mit Determinante gleich Null - sind ebenfalls zufällig erlaubt oder nicht, zu wählen - der Standardwert ist erlaubt
Die Option Z-pole ermöglicht, eine Lineartransformation mit einer Null Fixpunkt auf jeden Satz von Transformationen hinzuzufügen
Die Buttonen Affine Parameters und Iterated Function Set öffnen Fenster, in dem Sie manuell die Parameter der Funktionsysteme einstellen können
Plotter-Einstellungen: → Colors, Axis, Export
The colors in the fractal icon image are proportional to the probability that a given point is visited during the iterations
Clicking the Colors button opens a window where you can select the color palette of the fractal icon
You can either select one of the three pre-defined color palettes at the bottom of the window, or define your own color palette
You define a color palette by choosing the hue, the saturation and the lightness of the two extreme colors of the palette
The program will then adjust the intermediate colors proportionally to the gradient between the two extreme colors you defined
By activating the axis option, you ask the program to plot also the coordinate axis of the space and the fixed points of each function in the iterated function set
The fractal icon images are plotted on a html canvas element: such element doesn't allow to copy and export the image
By clicking on the Export button, you convert the image into a png image: you can then right click on the image and save the image anywhere on your computer
Note that the image is exported without any background: you will need to add the background on any other application where you wish to display the exported image
Zeichnen: → New, Redraw, Repaint
Die Schaltfläche New erzeugt eine neue Fraktal-Ikone mit den gleichen Einstellungen wie die aktuelle: die aktuelle Ikone gelöscht wird
Der Button Redraw neuzeichnet die Ikone von Anfang an
Der Button Repaint ermöglicht neue Farbeinstellungen an die bestehende fraktale Symbol zu gelten
Iterationen hinzufügen: → +10k, +100k, +1M, +10M
The initial fractal icon is plot after 10,000 iterations of the function set: this should prevent users with low calculation capacities (eg. smartphones) to be locked in too long waiting times
The initial fractal image is usually of poor quality, but allows you to identify nice icons
You can then add iterations to get a high quality icon and to finetune the fractal image
Note that a fractal is defined as the result of an infinity of iterations, what is obviously impossible on a computer
Usually you get most of the image after 1M iterations, but sometimes the image yet improves significantly up to 100M iterations
Be ready to wait if you launch fractal iterations over 100k without a powerful enough computer
IFS data (Mathematiker)
For the mathematicians, we plot in the IFS data all the most significant parameters of the iterated function set
A first matrix show (i) the number of times a point has been hit by an iteration divided in percentiles, and including the minimum and maximum of such hits numbers, (ii) the total number of hits (pixels points) and of iterations realized, (iii) an estimate of the mathematical ball-dimension of the fractal and (iv) the maximum radius of the fractal
In the left G-matrix you find the scale, stretch, rotation, shear, radius and phase of the fixed points, if the mirror was on - if mr=0 you get a projection, if mr=-1 you get a reflection -, the determinant and the trace of the transformation
In the right G-Matrix, for the same transformation, you find the standard parameters of the linear matrix (G), the translation parameter t and the applied probability of appearance of a transformation at each iteration
Kurze Mathematische Hinweise zur die Erzeugung von Fraktalen
An IFS is a set of affine transformations
Each of those affine transformation is a contraction - the absolute value of the scales in the x and y direction are less than unity - A set of affine contractions is called an Hyperbolic IFS
It is proven that any hyperbolic IFS has a unique set of fixed points, called the attractor A of the HIFS
Starting with a random complex number z (or a point in the plane) and applying iteratively a transformation randomly selected within the HIFS, after a transitory period (eg. 500 iterations) the application inevitably hits the attractor
Continuing to apply iteratively a transformation randomly selected within the HIFS, the program shows the attractor of the HIFS, coloring the pixel proportionally to the hits
